تصاعد هندسی و خواص آن

تصاعد هندسی در ریاضیات به عنوان یک علم مهم است، و اهمیت اعمال می شود، از آن تا دامنه بسیار گسترده حتی در ریاضیات عالی، به عنوان مثال، در نظریه مجموعه. اولین اطلاعات در پیشرفت از مصر باستان به ما آمد، به ویژه در قالب یک مشکل شناخته شده از پاپیروس Rhind هفت نفر با هفت گربه. تغییرات این کار چند بار در زمان های مختلف از کشورهای دیگر تکرار شد. حتی آل بیز لئوناردو Pizansky، شناخته شده به عنوان فیبوناچی (XIII ج.)، به او در خود صحبت کرد "کتاب از چرتکه."

به طوری که تصاعد هندسی دارای تاریخ کهن. این نشان دهنده یک دنباله عددی با اولین عضو غیر صفر، و هر بعدی، با شروع با دوم با ضرب فرمول عود قبلی در یک، تعداد غیرصفر است که به نام پیشرفت مخرج تعیین (معمولا با استفاده از حرف Q تعیین شده).
بدیهی است، می توان آن را با تقسیم هر ترم های بعدی از دنباله به قبلی پیدا شده است، به عنوان مثال Z 2: Z 1 = ... = روی: Z N-1 = .... در نتیجه، برای بسیاری از پیشرفت کار (ZN) کافی است که آن را می داند ارزش دوره اول مخرج و y 1 q است.

برای مثال، Z 1 = 7، Q = - 4 (Q <0)، سپس تصاعد هندسی زیر به دست آمده است 7 - 28، 112-448، .... همانطور که می بینید، دنباله حاصل یکنواخت نیست.

به یاد بیاورید که یک توالی دلخواه از یکنواخت (افزایش / کاهش) زمانی که یکی از اعضای آن را دنبال بیشتر / کمتر از گذشته شد. به عنوان مثال، دنباله 2، 5، 9، ...، و -10، -100، -1000، ... - یکنواخت، دوم - یک تصاعد هندسی کاهش است.

در مورد که در آن Q = 1، تمام اعضای یافت می شود، و آن را پیشرفت مداوم نامیده می شود.

توالی بود از پیشرفت این نوع، باید آن را شرط لازم و کافی زیر را برآورده سازد، عبارتند از: از دوم شروع، هر یک از اعضای آن باید از میانگین هندسی اعضای همسایه باشد.

این ویژگی اجازه می دهد تا در زیر برخی از دو یافته مجاور پیشرفت مدت دلخواه.

n ام مدت نمایی به راحتی با استفاده از فرمول پیدا شده است: روی = Z 1 * Q ^ (N-1)، Z دانستن اولین عضو 1 و q مخرج.

از آنجا که اعداد دارای مجموع، پس از آن چند محاسبات ساده ما یک فرمول برای محاسبه مجموع از پیشرفت برای اولین بار از اعضای، یعنی می دهد:

S نفر - (ZN * Q - Z 1) / (1 -) است.

جایگزینی، در فرمول آن ارزش بیان روی Z 1 * Q ^ (N-1) برای به دست آوردن فرمول مجموع دوم از پیشرفت: S نفر - Z1 * (Q ^ N - 1) / (1 -) است.

قابل توجه است در بر داشت زیر واقعیت جالب: قرص رس موجود در حفاری های بابل باستان، که اشاره به VI. قبل از میلاد، شامل راه قابل توجه از مجموع 1 + 2 + ... + 22 + 29 برابر با 2 به منهای قدرت دهم 1. توضیح این پدیده هنوز پیدا نشده است.

ما توجه داشته باشید یکی از خواص از تصاعد هندسی - یک کار ثابت از اعضای آن، فاصله در فواصل مساوی از انتهای دنباله.

از اهمیت ویژه از نقطه نظر علمی، چنین چیزی به عنوان یک تصاعد هندسی بی نهایت و محاسبه مقدار آن است. با فرض این که (YN) - پرسش مخرج تصاعد هندسی داشتن، وضعیت رضایت بخش | درخواست | <1، مقدار آن خواهد شد به حد به سمت که ما در حال حاضر از مجموع اولین اعضای آن می دانید، با افزایش نا محدود از n اشاره شد، پس از آن در آن را داشته نزدیک بی نهایت.

یافتن این مقدار به عنوان یک نتیجه از با استفاده از فرمول:

S نفر Y 1 / (1-) است.

و، به عنوان تجربه نشان داده است، برای سادگی آشکار این پیشرفت است پتانسیل برنامه بزرگ پنهان است. برای مثال، اگر ما یک دنباله مربعات ساخت با توجه به الگوریتم زیر، اتصال نقاط میانی از یکی از قبلی، سپس آنها یک تصاعد هندسی بی نهایت مربع داشتن یک مخرج 1/2 تشکیل می دهد. فرم پیشرفت همان و مساحت مثلث، به دست آمده در هر مرحله از ساخت و ساز، و مبلغ آن به مساحت مربع اصلی برابر است.