نظریه احتمال. احتمال یک رویداد، رویداد گاه به گاه (نظریه احتمال). تحولات مستقل و ناسازگار در نظریه احتمال

بعید است که بسیاری از مردم فکر می کنم ممکن است به تعداد دفعات مشاهده وقایع، که تا حدی تصادفی. برای قرار دادن آن در کلمات ساده است، آن را واقع بینانه به دانستن است که طرف مکعب در تاس زمان بعدی سقوط خواهد کرد. این سوال به دو دانشمند بزرگ را درخواست کند، پایه و اساس این علم، نظریه گذاشته احتمال، احتمال این رویداد که در آن به طور گستردهای به اندازه کافی.

نسل

اگر شما سعی می کنید به تعریف چنین مفهوم به عنوان نظریه احتمال، ما در بر داشت زیر: این یکی از شاخه های ریاضیات است که به بررسی ثبات وقایع تصادفی است. واضح است، این مفهوم واقعا جوهر آشکار نمی کند، بنابراین شما نیاز به آن را در جزئیات بیشتر در نظر بگیرند.

من می خواهم به با بنیان گذاران نظریه شروع می شود. همانطور که در بالا ذکر شد، دو وجود دارد، که پستها در طول ها Ferma و Blez Paskal را. آنها اولین اقدام با استفاده از فرمول ها و محاسبات ریاضی برای محاسبه نتیجه یک رویداد بود. به طور کلی، مقدمات این علم حتی در قرون وسطی است. در حالی که متفکران و دانشمندان مختلف سعی کرده اند به تجزیه و تحلیل بازی های کازینو مانند رولت، نوعی قمار، و غیره، در نتیجه برای ایجاد یک الگو، و از دست دادن درصد از یک عدد. این بنیاد همچنین در قرن هفدهم گذاشته شد آن دانشمندان مذکور بود.

در ابتدا، کار خود را نمی تواند به دستاوردهای بزرگ در این زمینه نسبت داده شده، بعد از همه، آنچه که آنها انجام، آنها به سادگی بود حقایق و آزمایش های تجربی به وضوح و بدون استفاده از فرمول بودند. با گذشت زمان، آن را تبدیل به دستیابی به نتایج بزرگ، که به عنوان یک نتیجه از مشاهده از بازیگران از استخوان ظاهر شد. این است که این ابزار کمک کرده است را به فرمول اول مجزا می باشد.

حامیان

نه به ذکر است یک مرد به عنوان کریستین هویگنس، در روند مطالعه این موضوع است که خرس به نام "نظریه احتمال" (احتمال این رویداد آن را برجسته در این علم). این شخص بسیار جالب است. او، و همچنین دانشمندان ارائه شده در بالا به آنها در قالب فرمولهای ریاضی سعی به استنباط از الگوی از رویدادهای تصادفی. قابل توجه است که او آن را با پاسکال و فرما را به اشتراک بگذارید، این است که همه کار خود را با کسانی که ذهن هم همپوشانی دارند. هویگنس مشتق شده از مفاهیم اساسی نظریه احتمالات.

یک واقعیت جالب است که کار خود به مدت طولانی قبل از نتایج از آثار پیشگامان آمد، به دقیق، بیست سال قبل. تنها در میان مفاهیم مشخص شد وجود دارد:

• به عنوان مفهوم مقادیر احتمال شانس؛
• انتظار برای حالت گسسته؛
• قضیه از جمع و ضرب احتمالات.

همچنین، می توان Yakoba Bernulli، که او نیز به مطالعه مشکل کمک را فراموش نکنید. از طریق خود، نه از آنها آزمون مستقل هستند، او قادر به ارائه مدرک از قانون اعداد بزرگ بود. به نوبه خود، دانشمندان پواسون و لاپلاس، که در اوایل قرن نوزدهم کار می کرد، قادر به اثبات این قضیه اصلی بودند. از آن لحظه به تجزیه و تحلیل خطا در مشاهدات ما با استفاده از نظریه احتمال آغاز شده است. حزب را در اطراف این علم نمی توانست و روسی دانشمندان، و نه مارکوف، چبیشف و Dyapunov. آنها در کار انجام شده به نوابغ بزرگ است، امن این موضوع به عنوان شاخه ای از ریاضیات. ما این ارقام در پایان قرن نوزدهم کار می کرد، و به لطف سهم خود، به پدیده هایی مانند ثابت شده است:

• قانون اعداد بزرگ؛
• تئوری زنجیره مارکف؛
• قضیه حد مرکزی.

بنابراین، تاریخ تولد علم و با شخصیت اصلی است که به آن کمک، همه چیز بیشتر یا کمتر روشن است. در حال حاضر زمان به گوشت از تمام حقایق در آن است.

مفاهیم اساسی

قبل از اینکه شما را لمس قوانین و قضایای باید مفاهیم اساسی نظریه احتمال یاد بگیرند. رویداد آن نقش غالب را اشغال می کند. این موضوع نه گسترده است، اما قادر نخواهد بود به درک تمام بقیه بدون آن.

رویداد در نظریه احتمال - آن هر مجموعه ای از نتایج آزمایش. مفاهیم از این پدیده است به اندازه کافی وجود ندارد. بنابراین، دانشمند Lotman کار در این زمینه، بیان کرده است که در این مورد ما صحبت در مورد آنچه "اتفاق افتاد، اگر چه نمی تواند رخ دهد."

رویدادهای تصادفی (نظریه احتمال توجه ویژه ای به آنها) - یک مفهوم است که شامل کاملا هر پدیده داشتن امکان به وجود می آید. یا، در مقابل، این سناریو می تواند در عملکرد انواع شرایط است. این ارزش دانستن اینکه اشغال کل حجم از پدیده های رخ حوادث فقط تصادفی است. نظریه احتمال نشان می دهد که تمام شرایط را می توان به طور مداوم تکرار. این رفتار آنها است "تجربه" و یا به نام "آزمون است."

رویداد مهم - این یک پدیده است که صد در صد در این آزمون اتفاق می افتد. بر این اساس، این رویداد غیر ممکن است - این چیزی است که اتفاق نمی افتد.

ترکیب جفت اکشن (مرسوم مورد A و B مورد) پدیده ای است که به طور همزمان رخ می دهد است. آنها به عنوان AB نامیده می شود.

مقدار جفت از حوادث A و B - C است، به عبارت دیگر، اگر حداقل یکی از آنها خواهد (A یا B)، شما یک C. فرمول پدیده توصیف شده است C = A + B را نوشته شده است

تحولات ناسازگار در نظریه احتمال نشان می دهد که دو مورد متقابلا منحصر به فرد هستند. در همان زمان آنها در هر صورت نمی تواند رخ دهد. رویدادهای مشترک در نظریه احتمال - آن متقاطر خود است. مفهوم این است که اگر A اتفاق افتاد، آن را C. مانع

مخالفت با این رویداد (نظریه احتمال آنها در جزئیات بزرگ در نظر می گیرد)، به آسانی قابل درک. بهترین برای مقابله با آنها در مقایسه است. آنها تقریبا همان تحولات به عنوان ناسازگار در نظریه احتمال است. با این حال، تفاوت آنها این است که یکی از تکثر پدیده در هر صورت باید رخ دهد.

به همان اندازه احتمال حوادث - این اقدامات، امکان تکرار برابر است. آن را به روشنی، شما می توانید تصور حول یک سکه: از دست دادن یکی از اضلاع آن از دست دادن همان اندازه محتمل است.

آن را آسان تر است در نظر گرفتن مثال از و این رویداد است. فرض کنید یک قسمت در قسمت الف اول وجود دارد - یک رول از قالب با ظهور یک عدد فرد، و دوم - ظاهر از شماره پنج در تاس. سپس معلوم است که A V. مورد علاقه است

حوادث مستقل در نظریه احتمال را تنها بر روی دو یا چند رویداد پیش بینی شده و شامل مستقل از هر گونه اقدام از سوی دیگر است. به عنوان مثال، A - در از دست دادن جای خود غلت بزنید دم سکه، و B - جک dostavanie از عرشه. آنها رویداد مستقل در نظریه احتمال است. از این لحظه مشخص شد.

رویدادهای وابسته در نظریه احتمال تنها برای مجموعه خود را نیز مجاز است. آنها می فهمند وابستگی یکی از سوی دیگر، است که، این پدیده می تواند در تنها در مورد رخ می دهد هنگامی که A در حال حاضر رخ داده و یا، در مقابل، اتفاق نمی افتد که در آن است - شرط اصلی برای ب

نتیجه این آزمایش تصادفی متشکل از یک تک جزئی - آن حوادث مقدماتی است. نظریه احتمال می گوید که آن یک پدیده است که تنها یک بار انجام می شود.

فرمول اساسی

بنابراین، بالاتر از مفهوم "رویداد"، "نظریه احتمال" در نظر گرفته شد، تعاریفی از واژه های کلیدی این علم نیز داده شد. حالا وقت آن است تا خود را آشنا با فرمول های مهم آن است. این عبارت از نظر ریاضی تمام مفاهیم اصلی در چنین موضوع دشوار را به عنوان نظریه احتمال را تایید کرد. احتمال یک رویداد و نقش بزرگی ایفا می کند.

بهتر است با فرمول اساسی ترکیبیات شروع می شود. و قبل از شما آنها را شروع کنید، آن را با توجه به ارزش آنچه در آن است.

ترکیبیات - در درجه اول یک شاخه ای از ریاضیات، او در حال مطالعه تعداد زیادی از اعداد صحیح، و جایگشت های مختلف از هر دو اعداد و اجزاء آنها، داده های مختلف، و غیره، که منجر به تعدادی از ترکیبات ... علاوه بر این به نظریه احتمال، این صنعت برای آمار، علوم کامپیوتر و رمزنگاری مهم است.

بنابراین در حال حاضر شما می توانید به ارائه خود و فرمول تعریف خود حرکت می کند.

اولین بار از این بیان برای تعداد جایگشت است، آن را به شرح زیر است:

P_n نفر ⋅ (N - 1) ⋅ (N - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 نفر!

معادله فقط در مورد اعمال اگر عناصر تنها در جهت از آرایش متفاوت است.

حالا فرمول قرار دادن، به نظر می رسد این در نظر گرفته خواهد شد:

A_N ^ متر نفر ⋅ (N - 1) ⋅ (N-2) ⋅ ... ⋅ (N - متر + 1) = N! : (N - متر)!

این عبارت نه تنها به تنها عنصر از قرار دادن سفارش، بلکه به ترکیب آن قابل اجرا است.

معادله سوم از ترکیبیات، و آن است که دومی، به نام فرمول برای تعدادی از ترکیبات:

C_n ^ متر = N! : ((N - متر))! : M!

ترکیبی به نام نمونه برداری، که دستور داده، به ترتیب، و این قانون اعمال می شود.

با فرمول از ترکیبیات آمد به درک به راحتی، شما هم اکنون می توانید به تعریف کلاسیک احتمال است. آن را مانند به نظر می رسد این عبارت شرح زیر است:

P (A) = M: N.

در این فرمول، متر - تعداد به همان اندازه و به طور کامل تمام وقایع ابتدایی - تعداد شرایطی که منجر به رویداد A، و n است.

هستند بسیاری از عبارات در مقاله هر چیزی را در نظر گرفته نمی شود، اما تحت تاثیر قرار خواهد بود که مهمترین آنها مانند، برای مثال، احتمال حوادث مقدار وجود دارد:

P (A + B) = P (A) + P (B) - این قضیه برای اضافه کردن فقط رویدادهای متقابلا منحصر به فرد.

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - اما این تنها برای اضافه کردن سازگار است.

احتمال آثار رویداد:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - این قضیه برای رویدادهای مستقل؛

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A)، P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - و این برای وابسته است.

لیست به پایان رسید از فرمول حوادث. نظریه احتمال به ما می گوید قضیه بیز، که به نظر می رسد مثل این:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (K = 1) ^ N P (H_k) P (A | H_k))، متر = 1، ...، N

در این فرمول، H _2، H _1، ...، H _N - یک مجموعه کامل از فرضیه است.

در این توقف، نرم افزار نمونه فرمول در حال حاضر برای انجام وظایف خاص از عمل در نظر گرفته شود.

نمونه

اگر شما با دقت مطالعه در هر شاخه ای از ریاضیات، آن است که بدون تمرین و راه حل های نمونه است. و نظریه احتمال: حوادث، نمونه در اینجا جزء جدایی ناپذیر از تایید محاسبات علمی.

فرمول تعداد جایگشت

برای مثال، در یک عرشه کارت دارند سی کارت، با شروع با یک اسمی. سوال بعدی. چگونه بسیاری از راه را بریزید عرشه به طوری که کارت با ارزش اسمی یک و دو بعدی واقع نشده بودند؟

مجموعه ای از کار است، در حال حاضر اجازه دهید در حرکت به مقابله با آن. در ابتدا شما نیاز به تعیین تعداد جایگشت از سی عنصر، برای این منظور ما را به فرمول بالا، آن را تبدیل P_30 = 30.

بر اساس این قانون، ما می دانیم که چگونه بسیاری از گزینه های به غیر روحانی کردن عرشه در راه های بسیاری دارد، اما ما باید از آنها کسر شود در مواردی که کارت اول و دوم بعدی خواهد بود. برای این کار، با یک نوع، زمانی که اولین بار است که در دوم واقع شروع می شود. به نظر می رسد که نقشه اول ممکن است بیست و نه مکان را - از اول تا بیست و نهم، و کارت دوم از دوم به سی امین، تبدیل بیست و نه صندلی برای جفت از کارت. به نوبه خود، دیگران می توانند بیست و هشت کرسی، و در هر سفارش. به این معنا که برای بازآرایی از بیست و هشت کارت بیست و هشت گزینه P_28 = 28!

نتیجه این است که اگر ما تصمیم نظر، هنگامی که کارت اول است در این فرصت اضافی دوم برای دریافت 29 ⋅ 28! = 29!

استفاده از همان روش، شما نیاز به محاسبه تعداد گزینه های زائد برای این مورد زمانی که کارت اول تحت دوم واقع شده است. همچنین به دست آمده 29 ⋅ 28! = 29!

از این که آن را زیر گزینه های اضافی 2 ⋅ 29!، در حالی که ابزار لازم جمع آوری عرشه 30! - 2 ⋅ 29. آن باقی مانده تنها به محاسبه.

30. = 29! ⋅ 30؛ 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

در حال حاضر ما نیاز به ضرب با هم همه از اعداد از یک تا بیست و نه، و سپس در پایان از همه ضرب 28. پاسخ 2،4757335 ⋅ 〖〗 ^ 10 32 به دست آمده

نمونه هایی از راه حل. فرمول برای تعدادی از محل های اسکان

در این مشکل، شما نیاز به پیدا کردن که چگونه بسیاری از راه هایی برای قرار دادن پانزده جلد در قفسه وجود دارد، اما تحت شرایط است که تنها سی جلد است.

در این کار، تصمیم کمی ساده تر از قبلی است. با استفاده از فرمول حال حاضر شناخته شده، برای محاسبه تعداد کل سی محل پانزده جلد آن لازم است.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 843 16 204 931 727 360 000

پاسخ، به ترتیب، به 843 204 931 202 727 360 000 برابر باشد.

در حال حاضر وظیفه را کمی مشکل تر است. شما باید بدانید که چگونه بسیاری از راه های به ترتیب سی و دو کتاب در قفسه، با این شرط که تنها پانزده حجم می تواند در قفسه مشابه قرار دارند وجود دارد.

قبل از شروع تصمیم می خواهم روشن است که برخی از مشکلات را می توان در راه های مختلفی حل، و در این دو راه وجود دارد، اما در هر دو یکی و همان فرمول استفاده شده است.

در این کار، شما می توانید پاسخ از قبلی را، به دلیل وجود دارد که ما به تعداد بار شما می توانید با پر کردن قفسه برای کتاب پانزده به روش های مختلف محاسبه شده است. معلوم A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

هنگ دوم محاسبه شده توسط تجدید سازمان فرمول، دلیل آن است که کتاب پانزده قرار می گیرد، در حالی که باقی مانده از پانزده. ما با استفاده از فرمول P_15 = 15.

به نظر می رسد که مجموع خواهد A_30 ^ 15 ⋅ P_15 راه، اما، علاوه بر این، این محصول از تمام اعداد 30-16 خواهد بود که توسط محصول از اعداد از یک تا پانزده ضرب، در پایان به نوبه خود از محصول تمام اعداد از یک تا سی، که پاسخ این است 30 است!

اما این مشکل می تواند در راه های مختلف حل - آسان تر است. برای این کار، شما می توانید تصور است که یک قفسه برای سی کتاب وجود دارد. همه آنها در این هواپیما قرار داده شده، اما به دلیل شرایط نیاز است که دو درجه شیب، و راه طولانی را در نیمه اره، دو نوبت پانزده وجود دارد. از این معلوم است که برای این تنظیم می تواند P_30 = 30.

نمونه هایی از راه حل. فرمول تعدادی از ترکیبات از

که به عنوان یک نوع از مشکل سوم از ترکیبیات. شما باید بدانید که چگونه بسیاری از راه های به ترتیب کتاب پانزده به این شرط که شما باید از سی دقیقا همان را انتخاب کنید وجود دارد.

برای تصمیم گیری خواهد شد، البته، اعمال فرمول برای تعدادی از ترکیبات. از این شرط که مشخص می شود که منظور از همان کتاب پانزده مهم نیست. بنابراین در ابتدا شما نیاز به پیدا کردن تعداد کل ترکیبات سی کتاب پانزده.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

این همه. با استفاده از این فرمول، در کوتاه ترین زمان ممکن برای حل یک مشکل، پاسخ، به ترتیب، 155117520 برابر است.

نمونه هایی از راه حل. تعریف کلاسیک احتمال

با استفاده از فرمول داده شده در بالا، می توان پاسخ را به یک کار ساده پیدا کنید. اما آن را به وضوح خواهید دید و این دوره از عمل دنبال کنید.

وظیفه با توجه به اینکه در یک کوزه می ده توپ به طور کامل یکسان وجود دارد. از این تعداد، چهار زرد و شش آبی. گرفته شده از کوزه یک توپ. لازم است بدانید که احتمال dostavaniya آبی.

برای حل این مشکل لازم برای تعیین dostavanie رویداد توپ آبی A. است این تجربه ممکن است ده نتایج، دارند که به نوبه خود، ابتدایی و به همان اندازه احتمال. در همان زمان، شش نفر از ده مطلوب به این رویداد A. حل فرمول زیر می باشد:

P (A) = 6: 10 = 0.6

استفاده از این فرمول، ما آموخته اند که امکان dostavaniya توپ آبی 0.6 است.

نمونه هایی از راه حل. احتمال مقدار حوادث

چه کسی خواهد بود یک نوع است که با استفاده از فرمول احتمال مقدار حوادث حل شده است. بنابراین، با توجه به این شرط که دو حالت وجود دارد، یکی از اولین خاکستری و پنج توپ سفید است، در حالی که دوم - توپ هشت خاکستری و چهار سفید. در نتیجه، جعبه های اول و دوم در یکی از آنها را گرفته اند. لازم است برای پیدا کردن آنچه شانس است که فاقد توپ خاکستری و سفید هستند.

برای حل این مشکل، برای شناسایی رویداد لازم است.

• بنابراین، A - ما یک توپ خاکستری کادر اول: P (A) = 1/6.
• A '- لامپ سفید نیز از جعبه اول گرفته شده است: P (A') = 5/6.
• - به توپ خاکستری در حال حاضر استخراج شده از مجرا دوم: P (B) = 2/3.
• B '- یک توپ خاکستری از کشو دوم: P (B) = 1/3.

با توجه به مشکل لازم است که یکی از پدیده های اتفاق افتاده است: AB "یا" ب با استفاده از فرمول، به دست آوریم: P (AB) = 1/18، P (A'B) = 10/18.

حالا فرمول ضرب احتمال استفاده شد. بعد، به پیدا کردن پاسخ، شما نیاز به اعمال معادله خود اضافه:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB) + P (A'B) = 11/18.

این که چگونه با استفاده از فرمول، شما می توانید مشکلات را حل کند.

نتیجه

در این مقاله به اطلاعات را در "نظریه احتمال"، احتمال حوادث است که نقش مهمی بازی ارائه شد. البته، همه چیز نیست در نظر گرفته شده است، اما بر اساس متن ارائه شده، شما می توانید از لحاظ نظری آشنا با این شاخه از ریاضیات. علم در نظر گرفته می تواند نه تنها در کسب و کار حرفه ای، بلکه در زندگی روزمره مفید است. شما می توانید آن را برای محاسبه هر گونه احتمال یک رویداد استفاده کنید.

متن نیز تاریخ های مهم در تاریخ توسعه نظریه احتمال به عنوان یک علم، و نام افراد که آثارش به آن قرار داده شده است تحت تاثیر قرار گرفت. این که چگونه کنجکاوی انسان به این واقعیت است که مردم آموخته اند به دفعات مشاهده شده، حتی رویدادهای تصادفی منجر شده است. هنگامی که آنها فقط در این علاقه مند هستند، اما امروز آن را در حال حاضر برای همه شناخته شده. و هیچ کس نمی تواند بگوید چه خواهد شد به ما در آینده اتفاق می افتد، چه دیگر اکتشافات درخشان مربوط به نظریه مورد نظر، می متعهد باشد. اما یک چیز برای مطمئن - مطالعه هنوز ارزش آن را ندارد!